Zviditeľniť neviditeľné

Matematika má medzi vedami v mnohých smeroch výnimočné postavenie. Stačí si len napríklad uvedomiť, že akokoľvek dlho sa ju v škole učíme, po maturitu sa v podstate nedostaneme ďalej, než kam sa matematika dostala pred 250 rokmi. Nie že by sa odvtedy v tomto odbore nič nedialo, naopak, ťažkosť je skôr v tom, že pokročila tak ďaleko, že nie je v silách (a ani potrebe) všeobecného vzdelania pokryť ani torzo jej neskorších výsledkov. No a vysvetliť laikovi problémy, ktorými sa zaoberá v súčasnosti, tak, aby získal zmysluplnú predstavu i o cestách, ktorými sa uberá k ich riešeniu, to veru už vôbec nie je jednoduché. To môže byť jedna z príčin, prečo populárnych kníh o matematike, zvlášť tých dobrých, vychádza o poznanie menej než o prírodných vedách. Sem sa, samozrejme, nedajú zaratávať knihy venované mágii čísel či inak okultistické, ktoré majú s vedou málo spoločné. Motiváciou pre napísanie novej knihy musí byť nejaký, i neodborníkovi zrozumiteľný, nový vedecký výsledok, alebo nová optika, s akou by sa dala matematika prezentovať. Aká úspešná môže byť prvá cesta, vidno na svetovom bestselleri Simon Singha Fermat’s Enigma, o Fermatovej vete a dlhej ceste generácií matematikov k jej dôkazu (roku 2000 vyšiel aj v českom preklade). *** Keith Devlin, profesor matematiky na slávnej Stanfordskej univerzite, sa vybral druhou cestou, i keď ani on sa na nej nevyhýba prezentovaniu najnovších výsledkov matematiky, všade tam, kde si všeobecnejším výkladom na to vytvoril podmienky (vrátane spomínaného dôkazu Fermatovej vety). Ústrednú tému svojej knihy, Jazyk matematiky, zhŕňa slovami: „Matematika nám dáva oči, ktorými môžeme uvidieť to, čo by nášmu zraku ostalo inak skryté. V tomto zmysle možno povedať, že matematika je spôsob, ako zviditeľniť neviditeľné.“ Na demonštrovanie tejto tézy si vybral osem rozličných oblastí matematiky. Každej z nich venuje samostatnú kapitolu (dajú sa čítať nezávisle), načrtáva chronológiu jej vývoja podávanú v širšom i nematematickom kontexte a v závere pridáva niektoré zaujímavé novšie výsledky či aplikácie často z veľmi vzdialených oblastí. Matematika prestala byť vedou o číslach už dávno, ale čísla v nej neprestali hrať svoju úlohu. „Na čo slúžia čísla“ je tak prirodzene prvou kapitolou výkladu. Ostatne číslo je jeden z prvých abstraktných matematických objektov – no jeho objav nebol vôbec triviálny, trvalo tisíce rokov, kým ľudia pochopili, že to, čo má spoločné päť oviec a päť oštepov, je abstraktný pojem množstva, a kým našli spôsob, ako ho efektívne vyjadriť číslom (jedno z prvých zviditeľnení neviditeľného). Devlin rozpráva o tom, aké nadšenie vzbudilo objavenie čísel a číselných vzťahov a aké sklamanie vyvolalo to, keď sa zdalo, že nie na všetko sa našlo číslo, ale i o tom, aké ľahké je vyjadriť jednoduchý číselný vzťah či vlastnosť a aké ťažké môže byť jej platnosť dokázať či vyvrátiť. Napokon dôkaz je ústrednou technikou matematiky, ktorá vo svojej rigidnosti nemá nikde inde obdobu. Ten dáva matematike ďalšiu výnimočnosť – nikdy nemusela poprieť to, čo už raz vyhlásila za platné, to čo raz dokázala. Cestu k dôkazu sprostredkováva logika. V časti „Princípy uvažovania“ sa dozvieme ako matematika sformalizovala, a teda zviditeľnila spôsoby uvažovania, vydáme sa na cestu tohto procesu od Aristotelových sylogizmov cez Boolovu „algebraickú logiku“ a Fregeho až po Hilbertov program „axiomatizácie“ matematiky a Gödelovu negatívnu správu o jeho možnostiach. Okrem odbočiek, ku ktorým téma priveľmi láka (teória množín a jej konštrukcia prirodzených čísel, Russellov paradox), Devlin k tejto kapitole pridal ešte dve trochu nesúrodé „jazykové“ časti: Chomského gramatiky, spadajúce skôr do lingvistiky či informatiky, a štatistickú analýzu literárneho textu, ktorá by viac zapadla do inej kapitoly. Škoda, že tento priestor nevyužil na i pre laika vďačnú tému rôznych veľkostí nekonečných množín, tým skôr, že sa k nej neskôr dostane pri zmienke o hypotéze kontinua a dôkaze nerozhodnuteľnosti konkrétnych matematických tvrdení. V kapitole „Matematika pohybu“ nás autor sprevádza dlhou cestou, kým sa matematike podarilo vyjadriť proces zmeny. Na jej začiatku stáli znepokojivé Zenonove apórie a na jednom z jej vrcholov veľké objavy Isaaca Newtona a Gottfrieda Leibniza, ktorým sa podarilo, i keď rôznymi spôsobmi, nájsť matematický popis pohybu. Objav kalkulu (diferenciálneho a integrálneho počtu) bol veľkým impulzom i pre iné vedy, zvlášť pre fyziku. Devlin ide však v kapitole ďalej, okrem diferenciálnych sa dostane aj k polynomickým rovniciam, k zavedeniu reálnych a imaginárnych čísel. Aj k jednej z najkrajších matematických rovníc, ei.p + 1 = 0, ktorá dáva do nečakaného súvisu päť základných matematických konštánt. Medzi najstaršie matematické disciplíny patrí geometria (kapitola „Matematika dostáva tvar“). Už v starom Grécku dosiahla takú rozvinutosť, že sa Euklidove základy používali ešte i po dvetisíc rokoch od ich vzniku ako základná učebnica geometrie. Ale od chvíle, keď sa vytratili zo škôl, uplynulo dosť času, aby vzniklo okolo ich obsahu veľa mýtov. Čitateľ preto ocení, že autor uvádza nielen obsah všetkých trinástich kníh Základov, viaceré pôvodné definície (z ktorých niektoré definíciami ťažko nazvať), všetkých päť Euklidových postulátov, ale i niekoľko pôvodných matematických dôkazov, ktorým roky neubrali na kráse. Prirodzene, najväčší priestor venuje piatemu postulátu (v skutočnosti Euklid pri dôkazoch používal i postuláty, ktorých platnosť mlčky predpokladal a až Hilbert v dvadsiatom storočí vytvoril úplný zoznam potrebných dvadsiatich postulátov). Jeho pôvodnú kostrbatú formuláciu môžeme preformulovať do tvrdenia, že „súčet uhlov v trojuholníku sa rovná 180 stupňom“. A keďže tento postulát nijako nevyplýval z ostatných, nič nebránilo matematikom uvažovať o svetoch, kde by neplatil, o „neeuklidovských svetoch“, o svete sférickej (a Riemanovej) geometrie, kde je súčet uhlov väčší, a svete pseudosféry, kde je menší než 180 stupňov. Odchýlka je v oboch prípadoch tým menšia, čím „menší“ je trojuholník. Tieto úvahy vyzerali ako čistá abstraktná konštrukcia až nám päťdesiat rokov po ich objave fyzika naznačila, že časopriestor, v ktorom žijeme, je zakrivený a že keď sa naše úvahy začnú pohybovať vo vesmírnych vzdialenostiach, neeuklidovské geometrie nám urobia lepšiu službu než ich predchodkyňa. Matematika opäť pomohla zviditeľniť neviditeľné. A keď je už reč o geometrii, ťažko sa vyhnúť trom najslávnejším starogréckym problémom: kvadratúre kruhu, zdvojeniu kocky a trisekcii uhla. Ich riešeniu sa venovali generácie profesionálov i amatérov, no vzdorovali dve tisícročia. Hoci každý študent matematiky pozná ich zadanie, niektorí dokonca vedia i to, že sú neriešiteľné, ale len máloktorí z nich tušia, ako sa asi táto skutočnosť dokáže. I tým urobí Devlinova kniha dobrú službu. Mimochodom, to, že je niečo neriešiteľné, je stále pre veľa amatérskych matematikov fakt, s ktorým sa ťažko zmierujú. A tak trávia roky svojho života rozdeľovaním uhla pomocou pravítka a kružidla na tri rovnaké časti a keď sa im zdá, že dosiahli cieľ, bombardujú svojimi riešeniami „maloverných“ matematikov. Devlin sa okrem podpory ústrednej myšlienky svojej knihy usiluje prirodzene sprostredkovať i estetický zážitok, ktorý matematika ponúka každému, kto o to stojí. Samotná matematika sa však snaží nájsť i priamu cestu k vyjadreniu estetických hodnôt. A nie je ňou len zlatý rez. „Matematika krásy“ sa k nim dostáva prostredníctvom teórie grúp a rôznych symetrií, od problému ukladania pomarančov v regáli supermarketu a tvaru včelích plástov či snehových vločiek sa autor dostane až po samoopravné kódy na prenášanie informácií cez zašumené linky. Od otázky, koľko existuje vzorov tapiet či spôsobov vydláždenia s daným tvarom dlaždíc, až ku Conwayovmu objavu (z roku 1993) neperiodickej výplne priestoru konvexným hranolom, pri ktorom je každá vrstva pootočená voči predchádzajúcej o iracionálny uhol. *** Hádam najpresvedčivejšou (a matematicky najnáročnejšou) pasážou o tom, ako matematika zviditeľňuje neviditeľné, je kapitola „Matematika sa dostáva k slovu“. Začína sa notoricky známym problémom köningsberských mostov: úlohou bolo prejsť všetkých sedem mostov, ktoré spájali oba brehy rieky Pregel a dva riečne ostrovy tak, aby chodec prešiel po každom len raz. Úloha dlho odolávala riešeniu, to poskytol až iný pohľad na problém a jednoduchá matematická úvaha. Stačilo z problému vyabstrahovať (zviditeľniť) to podstatné a vznikol graf, ktorého hrany boli mosty a vrcholy miesta, na ktoré ústili. Riešiteľ úlohy, L. Euler, uvažoval takto: okrem východzieho a záverečného vrcholu musí mať každý, ktorým chodec prejde, párny počet hrán – jednou do neho vojde a jednou vyjde. No a keďže graf köningsberských mostov túto podmienku nespĺňal, takáto prechádzka nie je možná, zbytočne by sme drali podrážky hľadaním jej itinerária. S grafmi sa však touto úlohou nelúčime. Ich vlastnosti sa ukážu cenné aj pri popise abstraktných matematických objektov. Zoznámime sa so zvláštnou Möbiovou páskou, „ušatými telesami“, typologickými transformáciami medzi nimi a aj ich charakterizáciou, ktorá nerozlišuje medzi šálkou na kávu a vanilkovým venčekom. Ale ani s „jednorozmernými“ objektmi to nemá matematika ľahšie – čitateľ sa o tom presvedčí, keď sa dočíta, aké ťažké je matematicky zachytiť charakter uzlov na špagáte. Ak vám test so spoľahlivosťou 80 percent, ktorý však pripúšťa 20-percentnú falošnú pozitivitu, preukáže, že máte vzácnu chorobu (s 1% výskytom), aká je pravdepodobnosť, že ju ozaj máte? Ak si myslíte, že 80 percent, je najvyšší čas, aby ste sa začítali do kapitoly „Matematika, náhoda a pravdepodobnosť“. Dozviete sa, že ju máte len s pravdepodobnosťou 4,8 percenta. A nielen preto to stojí za čítanie. O nič menej nie je zaujímavá posledná kapitola „Odhaľovanie skrytých štruktúr vesmíru“, ktorá však možno viac hovorí o tom, ako matematika pomáhala modernej fyzike, než o jej priamom zviditeľňovaní neviditeľného. Devlinova kniha je výborným čítaním nielen pre laika, ale i pre odborníka, ktorému poskytne obraz známych vecí v nečakaných súvislostiach. Ten ocení aj autorovu schopnosť primerane zjednodušiť výklad tam, kde sa to dá, tak, aby ostal prijateľným aj pre neškoleného čitateľa, a tam kde je to priťažké, radšej na skoky vo výklade upozorní, než by ho zvádzal. Výkladu by v niektorých drobnostiach pomohla redakčná práca – niektoré pasáže sa temer doslova opakujú – ale to je skôr výčitka anglickému originálu. Vďaka výbornému českému prekladu (Jan Švábenický) i vzornej celej redakčnej a tlačiarenskej práci dostáva sa na náš trh kniha, ktorú má čitateľ nielen chuť vziať do rúk, ale po jej dočítaní ju s potešením aj odporučiť priateľom. Aby aj oni uvideli neviditeľné. Keith Devlin, Jazyk matematiky, Argo a Dokořán, 2002, 343 strán, cena 350Kč